Mathegenies gefragt :D

[Shrukan]

So ich schreibe übermorgen ne Klausur über so ein be.. scheidenes Thema:
Ableitungsfunktionen und Tangentengleichungen -.-

Ich selber kann diese mit der einfachen Weise ausrechnen Bsp:
f(x)= 3x² + 4
f'(x)= 6x

ok das sind echt keine Probleme aber dieser andere schwierige Kram ich komm da an einem Knackpunkt einfach nicht drauf wie man das errechnen soll.

Bsp:
f(x)= (x+1)² ; a= 0

ok die allgemeine Formel hieß bei uns am Anfang:

f(a+h)-f(a) / h

so weit so gut dachte mir dass man das so einsetzen muss:

(0+h)²+1-(0²+1) / h

aber da komm ich zB nicht mehr weiter -.-

Und besonders weil ich meist nicht verstehe wie man in der letzten Klammer auf 2 Ziffern kommen kann, wenn in der Klammer vorher nur a zum einsetzen gestanden hat.
Das ist bei mir die Schwierigkeit im Rechnen. Wenn ich das verstanden hab, mir bzw das wer erklären / erläutern könnte, wäre das kein Problem mehr und ich hätte alles verstanden

Schon mal vielen Dank im vorraus

Shru

 

[ToNk-PiLs]

Ach ja, Mathe.....hatte nicht umsonst ne 5 da drin... *ürgs*

 

[Thorrak Dun Morogh]

Also wenns um die Ableitung von f(x)= (x+1)²geht,

dann würd ich es einfach ausmultiplizieren.

also (x+1)*(x+1) = x² + 2x + 1 und dann ableiten => 2x + 2

Oder mit der Produktregel

(a*b)' = a' * b + b' * a

(x +1)'*(x+1) + (x+1)*(x+1)' = 1 * (x+1) + (x+1) * 1= x+1 + x+1 = 2x+2


Das mit dem a und h ist eigentlich nur dazu da um die Differenzierbarkeit festzustellen. Abgeleitet wird damit nicht.
Hier heißt das a = 0 meiner Ansicht nach ganz einfach dass die Steigung im Punkt a gesucht ist, also setzt du einfach nur a in die abgeleitete Formel ein => 2a + 2 => 2*0 + 2 => 2

 

[Shrukan]

Ok ausmultiplizieren das kann ich und den Kram auf den einfachen Weg an f'(x) zu kommen.

aber dann gibts so ne andere dreckige Formel ^^

f(a+h)-f(a) / h (das soll einen Bruch darstellen)

mit Hilfe dieser Formel soll das auch gehen

 

[AhLuuum]

Tangentengleichungen sind so ekelig. -.-

Ich gehe mal davon aus, dass du weisst, wieso man h und nicht (x-a) schreibt.

Im Prinzip hat man die Formel m=(f(x)-f(a))/(x-a). (x-a) stellt die Distanz zwischen der Stelle x und der Stelle a dar, anstatt (x-a) zu schreiben, kann man auch h nehmen.
Wenn x-a=h ist, muss a+h=x sein. Also kann ich für f(x) auch f(a+h) schreiben.
Die Formel f(x)=(x+1)² kann ich also in f(x)=(a+h+1)² umschreiben, da a=0, fällt a weg, es bleibt f(x)=(h+1)².

Da die Funktionsgleichung sowohl für x, als auch für a gilt, kann ich f(x)=(x+1)² in f(x)=(a+1)²=1 umwandeln(weil a=0 und 1²=1).

Demnach hätten wir nun m=((h+1)²-1)/h.
Die binomische Formel lösen wir auf und erhalten m=(h²+2h+1-1)/h
Das wäre wiederum m=(h²+2h)/h.
Das schöne an der "h-Methode" ist, dass sich das h am Ende wegkürzt, wenn wir es ausklammern: m=h(h+2)/h=h+2

Wenn wir h jetzt gegen null laufen lassen, so erhalten wir die Steigung 2.
m=lim(h->0) 2

Ich hoffe das ist so alles richtig, bei Fehlern bitte ich natürlich um Korrektur.

 

[JuliyReloaded]

Soll ich euch was verraten ? Ich hab davon.....





























.....nicht die geringste Ahnung!

 

[Thorrak Dun Morogh]

Gut, dann machen wirs über die Formel

lim h -> 0 (f(x + h) - f(x)) / h
Wenn h gegen 0 geht ist der Nenner aber auch 0 und das darf nicht sein. Und weil dan auch der Zähler 0 ist muss der l'Hospital her. Also leiten wir Nenner und Zähler nach h ab.

Erstmal Zähler ausmultiplizieren
((x + h) + 1)² + (x + 1) = x² +2xh + 2x + h² +2h + 1 - x² + 2x + 1
Jetzt nach h ableiten ergibt
2x + 2h + 2

Denn Nenner nach h abgeleitet ergibt 1

Also lautet der Bruch
(2x + 2h + 2) / 1 oder einfach nur 2x + 2h + 2

wenn wir jetzt h gegen 0 gehen lassen ergibt sich
2x+2

An der Stelle a ergibt das die Steigung
2

Edit: AhLuums Lösung sieht mir aber nach der einfacheren Methode aus, da das Ableiten wegfällt.

 

[Dalmus]

Boah, ist das lange her, aber gab's für eine Funktion in dieser Form nicht die Substitutionsregel?

z = x+1
f(z) = z²

Und dann innere mal äußere Ableitung?

f'(z) = 2z
z' = 1
f'(x) = f'(z) * z' = 2z * 1 = 2(x+1) * 1 = 2x + 2

Die Sache mit h hatten wir auch, aber das fand ich immer viel zu umständlich.

 

[Noxiel]

1+1=2

 

[claet]

Ja Dalmus, das geht auch, aber ich würde es nennen "Mit Kanonen auf Spatzen schießen" *g*

Die einfachste Lösung ist definitiv Thorrak Dun Moroghs Weg. Und auch die, die man benutzen sollte meiner Meinung nach.

Und diese komische h-Methode kann ich mich noch dran erinnern, aber die lernt man in der 11. Klasse und braucht sie niemals wieder!!

Hab sie verdrängt..